方程a^4(x-b)(x-c)/(a-b)(a-c)+b^4(x-c)(x-a)/(b-c)(b-a)+c^4(x-a)(x-b)/(c-a)(c-b)=x^4的解

a,b,c以及
a^3/[(a-b)(c-a)]+b^3/[(b-c)(a-b)]+c^3/[(c-a)(b-c)]=-(a+b+c) 见我后面分析

解：
这里是用a,b,c三点来拟合x^4(拉格朗日插值法) 此条与本题无关

不难看出x=a,b或c时，等式两边成立，故：x=a,b,c是它的三个解，
对于四次函数，在实数域中最多有四个解，故：可设上式还有一解为d.

令：
f(x)=x^4-[a^4(x-b)(x-c)/(a-b)(a-c)+b^4(x-c)(x-a)/(b-c)(b-a)+c^4(x-a)(x-b)/(c-a)(c-b)] (1)
由假设f(x)又可写成：
f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d) (2)
由(1)式=(2)式可知：
它们的常数项也相等，(1)式的常数项是：将x=0代入即有常数项
-[a^4bc/((a-b)(a-c))+b^4ca/((b-c)(b-a))+c^4ab/((c-a)(c-b))] 整理有：
=bca^4/[(a-b)(c-a)]+acb^ac/[(b-c)(a-b)]+abc^4/[(c-a)(b-c)]
=abc*[a^3/((a-b)(c-a))+b^3/((b-c)(a-b))+c^3/((c-a)(b-c))] (3)
而(2)式的常数项是：abcd (4)
由(3)式=(4)式推得：
d=a^3/[(a-b)(c-a)]+b^3/[(b-c)(a-b)]+c^3/[(c-a)(b-c)]

(1)式=(2)式,那么除了常数项相等，它们的关于x 的三次幂的系数也应该相等，
在(1)式中，不存在x的三次方，故x^3的系数为0,
而(2)式的x^3前面的系数显然=-(a+b+c+d)
由分析知：-(a+b+c+d)=0知：d=-(a+b+c)

注：楼主说的a^3/[(